一、知識要點
在計數(shù)時，為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。它的基本形式有兩種：
(1)兩個集合的容斥關(guān)系：記A、B是兩個集合，屬于集合A的東西有A 個，屬于集合B的東西有B個，既屬于集合A又屬于集合B的東西記為 A∩B；屬于集合A或?qū)儆诩螧的東西記為A∪B ，則有：A∪B = A+B - A∩B。
(2)三集合的容斥關(guān)系：如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個數(shù)總和= A類元素個數(shù)+ B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)—既是A類又是B類的元素個數(shù)—既是A類又是C類的元素個數(shù)—既是B類又是C類的元素個數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個數(shù)。用符號來表示為：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C
二、解題方法
(1)公式法：當題目中的條件完全符合以下兩個公式時，用公式直接代入求解。
兩個集合：A∪B = A+B - A∩B=總個數(shù) ------兩者都不滿足的個數(shù)
三個集合：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C=總個數(shù)------三者都不滿足的個數(shù)
(2)畫圖法：條件或者所求不完全能用上述兩個公式表示時，利用文氏圖來解決。畫圖法核心步驟：
?、佼嬋D； ②填數(shù)字(先填最外一層，再填最內(nèi)一層，然后填中間層)； ③做計算。
(3)三集合整體重復型核心公式：
假如滿足三個條件的元素數(shù)量分別為A、B、C，總量為M，滿足兩個條件的總和為x，滿足三個條件的個數(shù)為y，三者都不滿足的條件為p，則有：A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。
三、例題解析：
例1、現(xiàn)有50名學生都做物理、化學實驗，如果物理實驗做正確的有40人，化學實驗做正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，則兩種實驗都做對的有多少人【2006年國家公務員一類考試行測第42題】
A.27人 B.25人 C.19人 D.10人
【答案】B
【解析】設(shè)兩種實驗都做對的有x人，根據(jù)核心公式：40+31-x=50-4，解得x=25
例2、某單位有60名運動員參加運動會開幕式，他們著裝白色或黑色上衣，黑色或藍色褲子。其中有12人穿白上衣藍褲子，有34人穿黑褲子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑褲子的有多少人? 【2008年廣東省公務員考試行測題】
A.12 B14 C15 D.19
【答案】C
【解析】根據(jù)核心公式：34+29-x=60-12，解得x=15
例3、某專業(yè)有學生50人，現(xiàn)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程，36人選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課的有28人，兼選甲、丙兩門課的有26人，兼選乙、丙兩門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人，問三門課均未選的有多少人?【2009年浙江省公務員考試題】
A.1人 B.2人 C.3人 D.4人
【答案】B
【解析】根據(jù)核心公式：40+36+30-28-26-24+20=50-x，解得x=2
例4、如圖所示，X、Y、Z分別是面積為64、180、160的三個不同形狀的紙片，覆蓋住桌面的總面積是290，其中X與Y、Y與Z、Z與X重疊部分的面積依次是24、70、36，那么陰影部分的面積是：
A.15 B.16 C.14 D.18
【答案】B
【解析】根據(jù)核心公式：64+180+160-24-70-36+x=290，解得x=16
復雜容斥原理問題、條件或者所求不完全能用上述兩個公式表示時，利用文氏圖來解決。 畫圖法核心步驟： 一、畫圈圖； 二、填數(shù)字(先填最外一層，再填最內(nèi)一層，然后填中間層)； 三、做計算 。
例5、某工作組有12名外國人，其中6人會說英語，5人會說法語，5人會說西班牙語；有3人既會說英語又會說法語，有2人既會說法語又會說西班牙語，有2人既會說西班牙語又會說英語；有1人這三種語言都會說。則只會說一種語言的人比一種語言都不會說的人多多少人【2006年國家公務員考試二類行測第43題】
A. 1人 B.2人 C.3人 D.5人
【答案】C
【解析】題目中所求條件不能用公式來表示時，用文氏圖法。其步驟如下：
(1)畫圖，標數(shù)字，先填最外層，再填最內(nèi)層，通過簡單的四則運算，最后填中間
(2)只會說一種語言的人為2+2+1=5，一種語言也不會說的人有：12-(2+2+1+2+1+1+1)=2，因此，只有說一種語言的比一種語言都不會說的人多5-2=3人。
例6、某高校對一些學生進行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考試都準備參加的有24人，準備選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的都15人。問接受調(diào)查的學生共有多少人?( )【2010年國家公務員考試行測第47題】
A.120 B.144 C.177 D.192
【答案】A
【解析】設(shè)接受調(diào)查的學生有x人，根據(jù)三集合整體重復型核心公式有：63+89+47-46-2×24=x-15，解得x=120。
