三個(gè)集合容斥問(wèn)題是公務(wù)員考試的?？碱}型，大部分考生雖然熟知三集合容斥問(wèn)題的常用公式A∪B∪C=A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C，但是不一定能把題目做對(duì)，究其原因是沒(méi)有理解公式的準(zhǔn)確含義。下面通過(guò)一道典型例子講解下蘊(yùn)含在這個(gè)公式下的深層次含義。
【例】
某公司組織運(yùn)動(dòng)會(huì)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，參加百米跑項(xiàng)目的有86人，參加跳高項(xiàng)目的有65人，參加拔河項(xiàng)目的有104人。其中，至少參加兩種項(xiàng)目的人數(shù)有73人，三項(xiàng)都參加的有32人。則該公司參賽的運(yùn)動(dòng)員有（ ）人。
A．89 B．121 C．150 D．185
【錯(cuò)誤解析】
設(shè)參加百米跑、跳高、拔河項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員分別構(gòu)成集合A、B、C，運(yùn)用三集合容斥問(wèn)題公式“A∪B∪C=A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C”求解。由A∩B+B∩C+A∩C表示的是參加兩種項(xiàng)目的總?cè)藬?shù)，可得A∩B+B∩C+A∩C=73-32=41。而A∩B∩C=32，則A∪B∪C=86+65+104－41+32=246（人）。沒(méi)有答案。
【錯(cuò)解門(mén)診】
上述解法雖然選對(duì)了公式，但是沒(méi)有算出正確答案，其最大的錯(cuò)誤在于沒(méi)有真正理解A∩B+B∩C+A∩C的含義。
A∩B+B∩C+A∩C=只參加兩種項(xiàng)目的人數(shù)+3×參加三種項(xiàng)目的人數(shù)。而至少參加兩種項(xiàng)目的人數(shù)有73人=只參加兩種項(xiàng)目的人數(shù)+參加三種項(xiàng)目的人數(shù)。兩式對(duì)比發(fā)現(xiàn)，前式比后式多了“2×參加三種項(xiàng)目的人數(shù)”。
【正確解析】
選C。設(shè)參加百米跑、跳高、拔河項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員分別構(gòu)成集合A、B、C，根據(jù)三集合容斥問(wèn)題公式A∪B∪C=A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C，A∩B+B∩C+A∩C=73+2×32=137，A∩B∩C=32，則A∪B∪C=86+65+104-137+32=150（人）。
【指點(diǎn)迷津】
對(duì)于三個(gè)集合容斥問(wèn)題，建議畫(huà)出文氏圖來(lái)輔助求解。具體操作過(guò)程如下：
確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)→把集合對(duì)應(yīng)圈圓→確定各圓圈位置關(guān)系→確定各集合邏輯、數(shù)量關(guān)系。
一般地，三個(gè)集合容斥問(wèn)題的文氏圖如下：
上圖中需要注意的是：A∩B+B∩C+A∩C=只重復(fù)兩次的情況+3×重復(fù)三次的情況。
這樣，A∪B∪C=A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C=三個(gè)圓各自情況之和－只重復(fù)兩次的情況－2×重復(fù)三次的情況。
從上述解析中可以看出，對(duì)于容斥問(wèn)題，僅僅通過(guò)背背、套套公式是不能解決問(wèn)題的，而是要真正理解公式所表達(dá)的含義，只能這樣才能做到舉一反三，不會(huì)出現(xiàn)“本來(lái)會(huì)做，但是換種說(shuō)法就不會(huì)做”的情況。
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